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地图着色引出的问题
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先来讲一个古老的传说：
46894 从前有个国王，他临死前担心死后5个儿子会因争夺疆土而互相拼杀，立了个遗嘱。遗嘱中说，他死后可以把国土划分为5个区域，每个王子统治一个区域，但是必须使任何一个区域与其他4个区域相邻，至于区域的形状可以任意划定。遗嘱中又说，如果在划分疆土时遇到了困难，可以打开我留下的锦盒，里面自有答案。
3 国王死后，5个王子开始划分国土，他们各自寻找聪明人去画一幅符合老国王遗嘱的地图。可是这些聪明人怎么也画不出5个区域中任意一个区域都和其他4个区域接壤的地图。
为了尽快瓜分国土，5个王子伤透了脑筋，可是，符合要求的地图始终没有画出来。无可奈何，王子们同意打开老国王留下的锦盒，看看老国王是怎样分的，有什么高招。
5个王子打开锦盒一看，里面并没有什么地图，只有老国王的一封亲笔信。信中嘱咐5个王子要精诚团结，不要分裂，合则存，分则亡。这时他们才明白，遗嘱中的地图是画不出来的。
6 这个古老的传说告诉我们，平面上的5个区域，要求其中每一个区域都与其他4个区域相邻是不可能的。
普通地图上都涂有颜色，花花绿绿的，相邻的不同国家或地区，用不同颜色来区别。那么绘制一张地图至少需要几种不同的颜色呢？如果地图上只有5个区域，由上面的故事可以知道，只要4种不同颜色就够了。区域更多一些，4种颜色够不够用？
1852年，英国有一位年轻的绘图员法兰西斯·古特里，他在给英国地图涂颜色时发现：如果相邻两个地区用不同颜色来涂，只需要4种颜色就够了。
9 古特里把这个发现告诉了正在大学数学系里读书的哥哥费特里，并且画了一个图给他看。这个图说明最少要用4种颜色，才能把相邻的两部分分辨开。颜色的数目再也不能减少了。费特里相信弟弟的发现是对的，但却不能用数学方法加以证明，也解释不出其中的道理。
费特里把这个问题提给了当时的著名数学家摩根。但是摩根也解释不了，就写信给另一名数学家哈米尔顿。摩根相信像哈米尔顿这样聪明的人肯定会解决。可是，哈米尔顿觉得这个问题太简单，没有去解决。
当时许多数学家都认为地图着色问题是很容易解决的。比如数学家闵可夫斯基，为人十分谦虚，偏偏有一次给学生讲课时，偶尔提到了这个问题，他把这个问题看轻了，在学生面前出了丑。闵可夫斯基在课堂上说：“地图着色问题之所以一直没有获得解决，那仅仅是由于没有第一流的数学家来解决它。”说完他拿起粉笔，要当堂给学生推导出来，结果却没能成功。下一堂课他又去试，又没推导出来。一连几堂课都毫无结果。有一天，天下大雨，他刚跨进教室，突然雷声轰响，震耳欲聋，他马上对学生说：“这是上天在责备我狂妄自大，我证明不了这个问题。”这样才中断了他的证明。
12 1878年，英国的著名数学家凯莱把这个问题公开通报给伦敦数学学会的会员，起名“四色问题”，征求证明。
凯莱的通报发表之后，数学界很活跃，很多人都想一显身手，可是，没有一个人的证明站得住脚。
数学家斯蒂芬曾设计了一个非常有趣的游戏，用于检验四色问题：
15 游戏由甲乙两个人参加。甲先画一个用闭合曲线围成的区域，让乙填上颜色；乙填好颜色之后再画一个区域让甲填色……如此下去，尽量使对方不得不使用第5种颜色。时至今日还没有一个人找到一张必须用5种颜色才能填满的图。不信，你也试一试。
尽管没有答案，但还是有许多人投入精力去证明，并公开证明结果。
首选宣布自己证明了四色问题的是一个叫肯泊的律师。他于1879年公布了自己的证明方法。可是过了11年，一位29岁的年轻数学家赫伍德指出肯泊的证明中有漏洞，不能成立。接着赫伍德成功地使用了肯泊的方法，证明出平面地图最多用5种颜色就够了。这就是著名的五色定理。赫伍德一生主要研究的就是四色问题，在以后的60年的时间里，他发表了关于四色问题的7篇重要论文，他78岁退休，而在85岁时还向伦敦数学学会，呈交了关于四色问题的最后一篇论文。他这种顽强的攻关精神是后人学习的榜样。
18 近100多年来，人们一直在研究四色问题，也取得了一定成就。但是存在的一个最大困难是：数学家所提供的检验四色定理的方法太复杂，人们难以实现。比如1970年有人提出一个检验方案，这个方案用当时的电子计算机来算，要连续不断地工作10万小时，差不多要11年。这个任务太艰巨了。
1976年9月，美国数学会公布了一个震奋人心的消息，美国伊利诺斯大学的阿佩尔和哈肯，利用3台IBM360型超高速电子计算机，运行1200小时，做了100亿个判断，终于证明了四色问题是对的。人类第一次依靠机器的帮助解决了延续124年的数学难题。厄巴纳邮局为了纪念这一伟大创举，特别在邮戳上加上了“四色足够了”的字样。
问题虽然解决了，但是争论却没有停止。阿佩尔和哈肯在发表他们的成果时，附上了一份460页的缩微的检验表。计算机做了上千小时的计算，谁能保证机器运算时不出错误呢？计算机出差错可是常有的事！数学家杜勃在阿佩尔等人的论文发表不久，就根据他的统计结果对哈肯说：“你们的证明在5个月后一定会发现有错误！”事实果然如此。阿佩尔发表论文之后，一直在忙着改错误。1981年，施密特在博士论文中，将阿佩尔等人的计算程序中的40％进行了检验，发现了14处小错，1处大错。施密特的论文引起数学家的很大震动，他们开始怀疑阿佩尔等人用机器证明的可相信程度。
21 1988年，阿佩尔和哈肯发表文章，说明发现的错误完全可以改正，不是根本性错误。数学家由于对计算机不够信任，还是想甩开计算机，仍然像过去一样，用一般演绎方法去证明。数学家的理想能否实现，至今还是一个谜！
内容选自《不知道的世界――数学篇》
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